设E={sinnt}n≥1,求证：E在C[0,π]中不是列紧的．

Question

设E = {sin nt}n ≥ 1,求证：E在C[0,π]中不是列紧的．

Answer 1

证明：显然E是一致有界的． 根据Arzela-Ascoli定理,我们只要证明E不是等度连续的即可． 我们的想法是找一个E中的点列fn,以及[0,π]中的两个点列sn和tn,使得 | sn − tn | → 0,但| fn(sn) − fn(tn) |不收敛于0． 事实上,这是可以做到的,只要令 fn (u) = sin (2n u),sn = (π/2)(1 + 1/(2n)),tn = (π/2)(1 − 1/(2n))． 则 sn + tn = π；sn − tn = π/(2n)→ 0 (n→∞)． 因此,| fn(sn) − fn(tn) | = 2 | sin (2n sn) − sin (2n tn) | = 2 | sin (n (sn − tn)) cos (n (sn + tn) ) | = 2 | sin ( π/2) cos (n π) | = 2． 所以,E不是等度连续的．进而,E在C[0,π]中不是列紧的．