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设E={sinnt}n≥1,求证:E在C[0,π]中不是列紧的.

题目详情
设E = {sin nt}n ≥ 1,求证:E在C[0,π]中不是列紧的.
▼优质解答
答案和解析
证明:显然E是一致有界的. 根据Arzela-Ascoli定理,我们只要证明E不是等度连续的即可. 我们的想法是找一个E中的点列fn,以及[0,π]中的两个点列sn和tn,使得 | sn − tn | → 0,但| fn(sn) − fn(tn) |不收敛于0. 事实上,这是可以做到的,只要令 fn (u) = sin (2n u),sn = (π/2)(1 + 1/(2n)),tn = (π/2)(1 − 1/(2n)). 则 sn + tn = π;sn − tn = π/(2n)→ 0 (n→∞). 因此,| fn(sn) − fn(tn) | = 2 | sin (2n sn) − sin (2n tn) | = 2 | sin (n (sn − tn)) cos (n (sn + tn) ) | = 2 | sin ( π/2) cos (n π) | = 2. 所以,E不是等度连续的.进而,E在C[0,π]中不是列紧的.
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