湖泊为人们提供大量的水资源,但也越来越受到生产和生活污水的污染,如洗涤剂中的磷酸盐,杀虫剂中的DDT和各种重金属化学元素等湖水的污染已城为一项不可忽视的重大课题,假设从湖泊周围

Question

湖泊为人们提供大量的水资源,但也越来越受到生产和生活污水的污染,如洗涤剂中的磷酸盐,杀虫剂中的DDT和各种重金属化学元素等湖水的污染已城为一项不可忽视的重大课题,假设从湖泊周围向湖中注一定入浓度污染吴如DDT的污水,试建立数学模型描述湖水中污染物的浓度的动态.
设某湖泊中有30000 g,其中污染物量200g,以每天80 g的速度向湖中注入污染率为30g/ 的污水,同时以每天50 的速度从湖中流出混合后的湖水欲使湖水含污染率达到0.2g/ ,经过多长时间?

Answer 1

先明确一下,我理解“以每天80 g的速度向湖中注入污染率为30g/ 的污水”,这句话里的“污染率”是笔误吧,应该是指80g里有30g是污染物,污染率为30g/80g = 0.375.另外,“同时以每天50 的速度从湖中流出混合后的湖水欲使湖水含污染率达到0.2g/ ”,这句话里的50是50g,污染率是0.2,没有单位吧.
按我自己的理解,设：
S0：为湖水总量的初始值,S0 = 30000g；
S：湖水总量；
K1：流入污水的速度,K1 = 80g/day；
K2：流出污水的速度,K2 = 50g/day；
K3：注入污染物的速度,K3 = 30g/day；
t：时间,单位为day；
Q0：污染物初始值,Q0 = 200g；
Q：污染物总量；
P：污染率,P = Q/S.
根据题意,列方程得：
S = S0 + (K1-K2)*t
Q = Q0 + K3*t - ∫(P*dt),注：这里是定积分,下限为0,上限为t,下同
即：
S = 30000 + 30t
Q = 200 + 30t - ∫(P*dt)
如果对这两个方程求微分,得：
dS/dt = 30
dQ/dt = 30 - P
两式相除,得：dQ/dS = (30-Q/S)/30
这是一个齐次型常微分方程dy/dx = f(y/x),这种方程有标准的解,化成变量分离型,得：
∫(dP/(f(P)-P)) = ∫(dS/S),所以有：
-30/31*ln(30-31*P) = ln(S) + C
代入初始值,S0=30000, P0 = 200/30000=1/150,得到C=-13.594；进一步得：
30-31*P = exp(-31/30*(ln(S)-13.594))
P = (30 - exp(-31/30*(ln(30000 + 30t)-13.594)))/31
这就是污染率的解析解.
当P=0.2时,解得t = 243.1day.
希望求解过程没有错误,供参考.