以下试题最好用初中知识解答,实在不行再用四点共圆.图略.如图在等边三角形ABC的边BC上任取一点D,作角AED=60度（注意是∠AED=60°）,DE交∠C的外角平分线于E,判断三角形ADE的形状,并证明.若D是

Question

以下试题最好用初中知识解答,实在不行再用四点共圆.图略.
如图在等边三角形ABC的边BC上任取一点D,作角AED=60度（注意是∠AED=60°）,DE交∠C的外角平分线于E,判断三角形ADE的形状,并证明.若D是射线BC上任一点,上述结论是否成立?并证明.

Answer 1

三角形ADE是等边三角形
方法1,用三角形全等证
证明：在AC边上截取CF=CE,连接EF
因为三角形ABC是等边三角形
所以角ACB=60度
所以角ACB的外角=120度
因为DE交角ACB的外角平分线于点E
所以角ECF=1/2角ACB的外角=60度
所以三角形ECF是等边三角形
所以角CFE=角CEF=角DEC+角DEF=60度
EF=CE (2)
因为角AED=角AEF+角DEF=60度
所以角AEF=角DEC (1)
因为角AFE=180-角CEF=120度
角DCE=角ACB+角ECF=60+60=120度
所以角AFE=角DCE (3)
所以由（1）,（2）,（3）得：
三角形AEF和三角形DEC全等（ASA)
所以AE=DE
所以三角形ADE是等腰三角形
因为角AED=60度
所以三角形ADE是等边三角形
方法2,用四点共圆证
证明：因为三角形ABC是等边三角形
所以角ACB=60度
所以角ACB的外角=120度
因为DE交角ACB的外角平分线于点E
所以角ACE=1/2角ACB的外角=60度
因为角AED=60度
所以角ACB=角AED=60度
所以A,D,C,E四点共圆
所以角ADE=角ACE=60度
因为角ADE+角AED+角DAE=180度
所以角DAE=角ADE=角AED=60度
所以AD=AE=DE
所以三角形ADE是等边三角形