高数积分题,为什么我的第一个问题不见了?∫0到(派/2)∫x到(派/2)sint*e^t/tdtdx

Question

高数积分题,为什么我的第一个问题不见了?
∫0到(派/2)∫x到(派/2)sint*e^t/t dt dx

Answer 1

用分步积分
设∫x到(派/2)sint*e^t/t dt=f（x)
上式=∫f(x)dx=x*f(x)-∫x*f'(x)dx
因为xf（x）|（π/2,0)=π/2f（π/2)-f(0)*0=0
上式=-∫x*f'(x)dx=∫x*sinx*e^x/x dx=∫sinx*e^x dx
∫e^xsinxdx
=∫sinxde^x
=e^xsinx-∫e^xdsinx
=e^xsinx-∫e^xcosxdx
=e^xsinx-∫cosxde^x
=e^xsinx-e^xcosx+∫e^xdcosx
=e^xsinx-e^xcosx-∫e^xsinxdx
所以∫e^xsinxdx=(e^xsinx-e^xcosx)/2
上式=(e^xsinx-e^xcosx)/2|[0,π/2]=e^(π/2)+1