一个周长为40的平行四边形,两角平分线所构成的相邻的两个三角形周长差为8,可以求平行四边形的边长吗?

Question

一个周长为40的平行四边形,两角平分线所构成的相邻的两个三角形周长差为8,可以求平行四边形的边长吗?

Answer 1

作四边形ABCD(AB>AD),作角A的平分线AE交DC于E,作角D的平分线DF交AB于F,
∵ ∠A+∠D=180º,∠DAG+∠ADG=90º,∠AGD=90º
∴ ∠AFG+∠FAG=90º,△AGF相似于△ADG,且有公共边AG,△AGF≌△ADG
同理有△DEG≌△ADG,所以相邻的两个三角形的周长相等,不可能有差为8的道理,题设不成立.
实际上,两条角平分线与AB、DC的交点E、F,和A、D一起构成一个棱形AFED,棱形中的四个三角形全等.
所以此题的原意可能是平行四边形的对角线所构成的相邻的两个三角形周长差为8,求平行四边形的边长.这样是可以的：
因为平行四边形ABCD的对角线AC和BD相互平分并交于P,
有 AP=CP,BP=DP
相邻的两个△APB和△APD中,
△APB的周长=AP+BP+AB
△APD的周长=AP+DP+AD=AP+BP+AD
△APB的周长-△APD的周长=(AP+BP+AB)-(AP+BP+AD)=AB-AD
这样就有 2(AB+AD)=40
AB-AD=8
可求出平行四边形的边长,AB=14,AD=6