在三角形中,若过一个顶点向对边引一条线段将三角形分成两个周长相等的三角形,则称这条线段为“巧线”.如图1,线段AD分得的△ADB与△ADC的周长相等,线段AD即为△ABC的一条“巧线”.(1)小明

Question

在三角形中,若过一个顶点向对边引一条线段将三角形分成两个周长相等的三角形,则称这条线段为“巧线”.如图1,线段AD分得的△ADB与△ADC的周长相等,线段AD即为△ABC的一条“巧线”.(1)小明想出了一种画“巧线”的方法：如图2,在线段CB的延长线上取一点M使得BM=AB,再在线段BC的延长线上取一点N使得CN=AC,取MN的中点D并连接AD,则线段AD即为“巧线”.你能根据“巧线”的定义,说明小明画法是否正确吗?说明理由.(2)如图3,若线段AD、CE 均为△ABC的“巧线”,求证：AE=CD.

Answer 1

（1）小明的画法是正确的.证明如下：△ABD的周长=AB+BD+AD=BM+BD+AD=MD+AD,△ADC的周长=AD+DC+AC=AD+DC+CN=AD+DN,因为D为MN中点,所以MD=DN,所以
△ABD的周长=△ADC的周长,根据“巧线”的定义,显然AD是“巧线”.
（2）证明如下：根据“巧线”的定义,有如下等式：
AD是巧线---->△ABD的周长=△ADC的周长----->AB+BD+AD=AD+DC+AC---->AB+BD=DC+AC
而AB+BD+DC+AC=AB+BC+AC=△ABC的周长---->CD+AC=△ABC的周长÷2,
同理,
CE是巧线---->△ACE的周长=△BCE的周长----->AC+CE+AE=BC+CE+BE---->AC+AE=BC+BE
而AC+AE+BC+BE=AB+BC+AC=△ABC的周长---->AC+AE=△ABC的周长÷2,
因此CD+AC=AC+AE,所以AE=CD.