一道高二的不等式题若a、b、m、n都是正实数,m+n=1,x=(ma+nb),y=m(a)+n(b),比较x与y的大小.（注：()是平方根）.

Question

一道高二的不等式题
若a、b、m、n都是正实数,m+n=1,x=(ma+nb),y=m(a)+n(b),比较x与y的大小.（注：()是平方根）.

Answer 1

解
x²-y²
=(ma+nb)-[m²a+n²b+2mn√(ab)]
=ma(1-m)+nb(1-n)-2mn√(ab)
=mna+mnb-2mn√(ab)
=mn[a-2√(ab)+b]
=mn(√a-√b)²≥0.
等号仅当a=b时取得.
∴x²≥y²
∴x≥y