如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

Question

如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

Answer 1

证明：取BC的中点O，连接AO、SO．
∵AS=BS=CS，SO⊥BC，
又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC，
从而AO⊥BC．
设AS=a，又∠BSC=90°，则SO=(√(2))/(2)a．
又AO=√(AB2−BO2)=√(a2−(1)/(2)a2)=(√(2))/(2)a，
∴AS²=AO²+SO²，故AO⊥OS．
从而AO⊥平面BSC，又AO⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BSC．