高数告诉进!当陨石穿过大气层向地面高速坠落时,陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发,实验证明,陨石挥发的速率（即体积减少的速率）与陨石表面积成正比.现有一陨石是

Question

高数告诉进!
当陨石穿过大气层向地面高速坠落时,陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发,实验证明,陨石挥发的速率（即体积减少的速率）与陨石表面积成正比.现有一陨石是质量均匀的球体,且在坠落过程中始终保持球状,若它进入大气层开始燃烧的前3秒内,减少体积的7∕8,问此陨石完全燃尽需要多少时间?

Answer 1

答案：6 秒
球体表面积为：S=4*pi*r^2------------式1;
球体体积为：V=4/3*pi*r^3----------式2;
（说明：pi为圆周率,*代表乘号,/代表除号,^代表乘方,r代表陨石半径.）
设 当t=0时,陨石体积（即最初进入大气层时体积）为V0,半径为r0；当t=3秒时,陨石体积为V1,半径为r1,
根据题意令 dV/dt=-k*S-------------式3；
（说明：k为陨石挥发体积随表面积变化的比例系数）
将式1、式2代入式3,整理化简积分,得：r=r0-k*t-------------式4;
根据题目条件有,V1=V0-(7/8)*V0=(1/8)*V0,得：r1=0.5*r0-------------式5;
将式5及t=3代入式4,得：k=0.5/3*r0-------------式6;
将式6代入式4,得：r=r0*(1-0.5/3*t)-------------式7;
从式7可知,当t=6时,r=0即V=0,得解.