laplace变换求解微分方程y"+4y'+4y=25cosx,y(0)=1,y'(0)=-1和y"+4y=(5e^x)+4y(0)=4,y'(0)=7

Question

laplace变换 求解微分方程y"+4y'+4y=25cosx ,y(0)=1,y'(0)=-1和 y"+4y=(5e^x)+4 y(0)=4,y'(0)=7

Answer 1

（1）∵齐次方程y"+4y'+4y=0的特征方程是r²+4r+4=0,则r=-2
∴齐次方程y"+4y'+4y=0的通解是y=(C1x+C2)e^(-2x) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=Acosx+Bsinx
代入原方程得(3B-4A)sinx+(3A+4B)cosx=25cosx
==>3B-4A=0,3A+4B=25
==>A=3,B=4
∴原方程的特解是y=3cosx+4sinx
∴原方程的通解是y=(C1x+C2)e^(-2x)+3cosx+4sinx (C1,C2是积分常数)
∵y(0)=1,y'(0)=-1
代入得C2+3=1,C1-2C2+4=-1
==>C1=-9,C2=-2
∴所求解是y=3cosx+4sinx-(9x+2)e^(-2x).
（2）∵齐次方程y"+4y=0的特征方程是r²+4=0,则r=±2i (i是虚数)
∴齐次方程y"+4y=0的通解是y=C1cos(2x)+C2sin(2x) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=Ae^x+B
代入原方程得5Ae^x+4B=5e^x+4
==>5A=5,4B=4
==>A=1,B=1
∴原方程的特解是y=e^x+1
∴原方程的通解是y=C1cos(2x)+C2sin(2x)+e^x+1
∵ y(0)=4,y'(0)=7
代入得C1+1+1=4,2C2+1=7
==>C1=2,C2=3
∴所求解是y=2cos(2x)+3sin(2x)+e^x+1.