X＋1/X=a问X^n＋1/X^n=?是我们数学老师提出的：已知X＋1/X=a问X^n＋1/X^n=?（^n代表n次方）打个比方,如果X＋1/X=5,则X^2＋1/X^2=23,但是如果是n就无法确定了求教数学巨擎、天才给出解答

Question

X＋1/X=a 问X^n＋1/X^n=?
是我们数学老师提出的：
已知 X＋1/X=a 问X^n＋1/X^n=?
（^n代表n次方）打个比方,如果 X＋1/X=5,则
X^2＋1/X^2=23,但是如果是n就无法确定了
求教数学巨擎、天才给出解答

Answer 1

设X^n＋1/X^n=f(n), 则 f(1)=a ,f(2)=a^2-2), f(n+1)=x^(n+1)+1/x^(n+1)
=(x+1/x)(X^n+1/X^n)-x^(n-1)-1/x^(n-1)=af(n)-f(n-1) 用 特征根法x^2-ax+1=0 求出两根x1,x2 转化为等比数列求通项问题, 即可求出f(n)
特别地 a=±2时X^n＋1/X^n=±2