关于牛顿运动定律的,在倾角为a的斜面上方P点,引一条到达斜面的光滑直轨道（轨道位置不确定）,轨道与竖直方向的夹角为b,若要一物体（质点）从P由静止出发,到达斜面的时间为最短,则b与a

Question

关于牛顿运动定律的,
在倾角为a的斜面上方P点,引一条到达斜面的光滑直轨道（轨道位置不确定）,轨道与竖直方向的夹角为b,若要一物体（质点）从P由静止出发,到达斜面的时间为最短,则b与a的关系是什么?
答案是b＝1/2a,

Answer 1

设P点到斜面的垂直距离为h
由几何关系知：
(1/2)(gcosb)t2=m m为轨道长度
由正弦定理：m/sin(∏/2-a)=h/sin(∏/2+a-b)
t2=2hcosa/(gcos(b-a)cosb)
分子为常数,求分母最大值
cos(b-a)cosb=cos(a-b)cosb的最大值
鉴于不能使用导数,可分类讨论
b大于等于a一种情况,b小于a一种情况
最后可得当a-2b=0时分母最大
所以 b=1/2a