lim∫(上限为x+a,下线为x)tsin1/tdt=alimx趋近于无穷大是个证明题，证明=a

Question

lim∫ (上限为x+a,下线为x)tsin1/t dt =a lim x趋近于无穷大
是个证明题，证明=a

Answer 1

由积分中值定理：存在ξ（ξ在x和x+a之间）
lim∫ (上限为x+a,下线为x)tsin1/t dt
=lima(ξ/sin(1/ξ))
=alim(sin(1/ξ)/(1/ξ))(x趋近于无穷大,ξ趋近于无穷大,1/ξ趋于0)
=a