定义运算*,（1）2*2=1,（2）（2n+2）*2=3（2n*2）,则2n*2,用含n的代数式表示为?

Question

定义运算*,（1）2*2=1,（2）（2n+2）*2=3（2n*2）,则2n*2,用含n的代数式表示为?

Answer 1

首先计算前几项,再用数学归纳法证明
n=1时,由②(2n+2) *2 =3(2n*2)有4*2=3（2*2）=3
n=2时,（2乘以2+2）*2=3（2乘以2*2）,有6*2=3乘以（4*2）=9=3的二次方
n=3时,（2乘以3+2）*2=3（2乘以3*2）,有8*2=3乘以（6*2）=27=3的三次方
推断（2n+2）*2=3的n次方
从而（2（n+1））*2=3的n次方
故2n*2=3的（n-1）次方
再用数学归纳法证明
n=1时,由上述计算可证2n*2=2*2=1=3的（1-1=）0次方
假设n=k时命题成立,即有2k*2=3的（k-1）次方
则当n=k+1时,2（k+1）*2=3（2k*2）=3乘以3的（k-1）次方
=3的（（k+1）-1）次方,命题成立
故2n*2=3的（n-1）次方=3^（n-1）