着急!作变换t=tanx,将微分方程cos^4x(d^2y/dx^2)+2cos^2x(1-sinxcosx)dy/dx+y=tanx,变成y关于t的方程,并求原来方程的通解.

Question

着急!作变换t=tanx,将微分方程cos^4x(d^2y/dx^2)+2cos^2x(1-sinxcosx)dy/dx+y=tanx,变成y关于t的方程,并求原来方程的通解.

Answer 1

t=tanx,(cosx)^2=1/(1+t^2)
x=arctant
dx/dt=1/(1+t^2)
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(1+t^2)y',这里y'是对t的导数
d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=d[(1+t^2)y']/dx=d[(1+t^2)y']/dt /(dx/dt)=[2ty'+(1+t^2)y"](1+t^2)
代入原方程得：
[2ty'+(1+t^2)y"]/(1+t^2)+2/(1+t^2)*(1- t/(1+t^2))*(1+t^2)y'+y=t
化简得：y"+2y'+y=t
特征根为二重根-1,通项为y=(c1t+c2)e^(-t)
设特解为y*=at+b,代入得：2a+at+b=t,得：a=1,b=-2
因此有y=(c1t+c2)e^(-t)+t-2
所以原方程的解为y(x)=(c1 tanx+c2)e^(-tanx)+tanx-2