将长为L的铁丝分成2断,一段绕成圆,一段绕成正方形,要使两者面积之和最小,该如何分

Question

将长为L的铁丝分成2断,一段绕成圆,一段绕成正方形,要使两者面积之和最小,该如何分

Answer 1

设分成两段分别为x,L-x. 圆的半径为R,正方形的边长为a.
长为x的铁丝绕成圆, 那么 2πR=x ,解得R=x/2π
圆的面积=πR²=π（x/2π）²=x²/4π.
长为L-x的铁丝绕成正方形,那么4a=L-x,解得a=(L-x)/4
正方形的面积=a²=[(L-x)/4]²=（L-x）²/16
所以两者面积和=x²/4π+（L-x）²/16=（4+π）/16π ×[x-πL/（4+π）]²+（π+3）L²/16(π+4)
所以当x=πL/（4+π）时,两者面积和取得最小值为 （π+3）L²/16(π+4)
此时绕成圆的铁丝长=x=πL/（4+π）
绕成正方形的铁丝长=L-x=L-πL/（4+π）
即将长为L的铁丝分成πL/（4+π）和L-πL/（4+π）分别绕成圆和正方形时,两者面积最小.