一根长为L的木棍,用红色的刻度线将它分成M等份,用黑色刻度线将它分成N等份,M大于N.1)设X是红色刻度线重合的条数,请说明X+1是M和N的公约数.2)如果按刻度线将木棍锯成小段,一共可以得到170根

Question

一根长为L的木棍,用红色的刻度线将它分成M等份,用黑色刻度线将它分成N等份,M大于N.
1)设X是红色刻度线重合的条数,请说明X+1是M和N的公约数.
2)如果按刻度线将木棍锯成小段,一共可以得到170根长短不一的小棍,其中最长的恰好有100根,试确定M,N的值.

Answer 1

一根长为L的木棍,用红色的刻度线将它分成M等份,
每份长L/M
用黑色刻度线将它分成N等份,每份长L/N.
X是红色刻度线重合的条数,把L分成X+1段.
则每2根刻度线重合之间的长度一样.设有A份L/M,B份L/N在中间.
AB互质.不然,它们有公约数,又有线重合.
则A*L/M=B*L/N
（X+1）*A*L/M=（X+1）*B*L/N=L
（X+1）A/M=（X+1）B/N=1
M=（X+1）A,N=（X+1）B
AB互质,所以X+1是MN的公约数.
2.
因为M>N,最长的就是一端红黑刻度线重合,一端是红色的刻度线.
长就是L/M.
可以知道,有X条红黑刻度线,每条2边的都是最长棍.L两端也分别有1条最长棍.
这样的小棍有2X+2=100跟.
X=49.
有M-1条红线,N-1条黑线.有X条红黑刻度线重合.
就一共有M+N-X-2条线.
分成M+N-X-2+1=170段.
M+N-X=171.
M+N=171+49=220.
M,N是X+1=50的倍数.M>N