x∧3＋ax∧2－a∧2乘x＋5＝0（x∧3代表x的三次方以此类推）

Question

x∧3＋ax∧2－a∧2乘x＋5＝0（x∧3 代表 x的三次方 以此类推）

Answer 1

（1）将x=A^（1/3）+B^（1/3）两边同时立方可以得到
　　（2）x^3=(A+B)+3(AB)^（1/3）(A^（1/3）+B^（1/3）)
　　（3）由于x=A^（1/3）+B^（1/3）,所以（2）可化为
　　x^3=(A+B)+3(AB)^（1/3）x,移项可得
　　（4）x^3－3(AB)^（1/3）x－（A+B）=0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知
　　（5）－3(AB）^（1/3）=p,－（A+B)=q,化简得
　　（6）A+B=－q,AB=-（p/3）^3
　　（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根,而（6）则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即
　　（8）y1+y2=－（b/a）,y1*y2=c/a
　　（9）对比（6）和（8）,可令A=y1,B=y2,q=b/a,-（p/3）^3=c/a
　　（10）由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
　　y1=－（b+（b^2－4ac）^（1/2））/（2a)
　　y2=－（b－（b^2－4ac）^（1/2））/（2a)
　　可化为
　　（11）y1=－（b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^（1/2）
　　y2=－（b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^（1/2）
　　将（9）中的A=y1,B=y2,q=b/a,-（p/3）^3=c/a代入（11）可得
　　（12）A=－（q/2）-((q/2）^2+（p/3）^3）^（1/2）
　　B=－（q/2）+((q/2）^2+（p/3）^3）^（1/2）
　　（13）将A,B代入x=A^（1/3）+B^（1/3）得
　　（14）x=（－（q/2）-((q/2）^2+（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）+（－（q/2）+((q/2）^2+（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）
　　式 （14）只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了.
你确定要?好吧
{x1= -(a/3) + (4 2^(1/3) a^2)/(
3 (-135 - 11 a^3 + 3 Sqrt[15] Sqrt[135 + 22 a^3 - a^6])^(
1/3)) + (-135 - 11 a^3 + 3 Sqrt[15] Sqrt[135 + 22 a^3 - a^6])^(
1/3)/(3 2^(1/3))},
{x2= -(a/3) - (2 2^(1/3) (1 + I Sqrt[3]) a^2)/(
3 (-135 - 11 a^3 + 3 Sqrt[15] Sqrt[135 + 22 a^3 - a^6])^(
1/3)) - ((1 - I Sqrt[3]) (-135 - 11 a^3 +
3 Sqrt[15] Sqrt[135 + 22 a^3 - a^6])^(1/3))/(
6 2^(1/3))},
{x3= -(a/3) - (2 2^(1/3) (1 - I Sqrt[3]) a^2)/(
3 (-135 - 11 a^3 + 3 Sqrt[15] Sqrt[135 + 22 a^3 - a^6])^(
1/3)) - ((1 + I Sqrt[3]) (-135 - 11 a^3 +
3 Sqrt[15] Sqrt[135 + 22 a^3 - a^6])^(1/3))/(6 2^(1/3))}