对角线都是-1,其余都是1的矩阵的逆矩阵-11111-11111-11111-1类似这样的矩阵的逆矩阵是否有什么规律?如果有,是什么?如果没有,这样的矩阵的逆矩阵应该怎样求?

Question

对角线都是-1,其余都是1的矩阵的逆矩阵
-1 1 1 1
1 -1 1 1
1 1 -1 1
1 1 1 -1类似这样的矩阵的逆矩阵是否有什么规律?如果有,是什么?如果没有,这样的矩阵的逆矩阵应该怎样求?

Answer 1

这种矩阵逆矩阵也是对角元为 a,非对角元为 b 的形式,当然 a 和 b 需要根据矩阵阶数算一下 (b=1/(2n-4),a=b-1/2)
原理很简单,A=-2I+xx^T,其中 x=[1,1,1,1]^T,然后即使不知道 Sherman-Morrison 公式也很容易求出这个逆