在[0,1]区间内的有理数的Lebesque测度为什么是0而无理数是1看过一些解释说可数的数集的Lebesque测度都为0但是还是有疑问

Question

在[0,1]区间内的有理数的Lebesque 测度为什么是0 而无理数是1
看过一些解释 说可数的数集的Lebesque测度都为0 但是还是有疑问

Answer 1

给一个不是很严密但是比较直观的解释
所谓可数,就是说我们可以把它表示为一个数列a1,a2,a3.
那么对于任意比1小的正数r我们构建一个区间的序列B1=[a1-(r/2),a1+(r/2)],B2=[a2-(r^2/2),a2+(r^2/2)],.
这样,B1,B2.这个序列一定能覆盖[0,1]上的有理数集合
另外,对于任意的k,Bk的测度为r^k
那么 B1,B2.这个序列的并的测度是不会大于r+r^2+...=r/(1-r)的
对于任意一个e>0我们都可以取得合适的r使得B1,B2.这个序列的并的测度是小于e
以下省略