如图梯形ABCD中,AB∥DC,AC⊥DB,MN分别是AB,CD的中点,PQ分别是BD,AC的中点,若MN=5PQ=3则AB=

Question

如图梯形ABCD中,AB∥DC,AC⊥DB,MN分别是AB,CD的中点,PQ分别是BD,AC的中点,若MN=5PQ=3则AB=

Answer 1

过C作CE∥BD交AB的延长线于点E,CF∥MN交AB于N.
四边形BDCE,MNCF均是平行四边形,CF=MN=5,BE=CD.
易证三角形ACE是直角三角形,CF是斜边AE的中线,所以,AE=2CF=2MN=10.
于是有,AB+CD=10——（1）
取AD中点G,连接PG,QG,
因为P,Q分别是AC,BD中点,所以,PG∥CD,且PG=CD/2,QG∥AB,且QG=AB/2.
又因为AB∥DC,所以,PG∥CD.因此,PG,QG在同一直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）
即P,Q,G三点共线.所以,PQ=QG-PG=（AB-CD）/2=3,
于是：AB-CD=6——（2）.
解（1）,（2）可得：AB=8.