选修·演绎法.试证明函数f(x)=-x^2+2x在(-∞,1]上是增函数.用定义法证明.选修·演绎法.试证明函数f(x)=-x^2+2x在(-∞,1]上是增函数.要求用定义法证明,不要用导数.最好能写成三段式证明法.

Question

选修·演绎法.试证明函数f(x)=-x^2+2x在(-∞,1]上是增函数.用定义法证明.
选修·演绎法.
试证明函数f(x)=-x^2+2x在(-∞,1]上是增函数.
要求用定义法证明,不要用导数.
最好能写成三段式证明法.

Answer 1

郭敦顒回答：
定义Δx=x2－x1,x2= x1+Δx,Δx→0,Δx＞0,
则f(x1)= －（x1）²+2x1,
f(x2)= －（x1+Δx）²+2（x1+Δx）=－（x1）²－2x1Δx－（Δx）²+2x1+2Δx
∴f(x2) －f(x1)= －2 x1Δx－（Δx）²+2Δx=Δx（－2x1－Δx+2）
在区间（－∞,0]内,显然Δx（－2x1－Δx+2）＞0
在区间（0,1]内,仍有Δx（－2x1－Δx+2）＞0
∴f(x2) ＞f(x1),∴函数f(x)= －x^2+2x在(－∞,1]上是增函数.