在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM，垂足为E．（1）如图①，求DE的长（用a，b表示）；（2）如图②，若垂足E落在点M或AM的延长线上，结论是否与（1）相同？

Question

在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM，垂足为E．
（1）如图①，求DE的长（用a，b表示）；
（2）如图②，若垂足E落在点M或AM的延长线上，结论是否与（1）相同？

Answer 1

（1）∵M是BC的中点，BC=b，
∴BM=(1)/(2)b，
∴AM=√(AB2+BM2)=√(a2+((b)/(2))2)=(√(4a2+b2))/(2)，
∵∠BAM+∠DAE=∠BAD=90°，
∠BAM+∠AMB=180°-90°=90°，
∴∠AMB=∠DAE，
又∵∠B=∠AED=90°，
∴△ABM∽△DEA，
∴(DE)/(AB)=(AD)/(AM)，(DE)/(a)=(b)/((√(4a2+b2))/(2))，
解得DE=(2ab)/(√(4a2+b2))=(2ab√(4a2+b2))/(4a2+b2)；
（2）垂足E落在点M或AM的延长线上时结论与（1）相同，求解过程可以与（1）完全相同．