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已知已于椭圆X^2/4+Y^2/3=1,若直线L:Y=KX+M与椭圆相交于A,B不是顶点,以AB为直径的圆过椭圆右顶点求证L过一定点求出定点的坐标
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已知已于椭圆X^2/4+Y^2/3=1,若直线L:Y=KX+M与椭圆相交于A,B不是顶点,以AB为直径的圆过椭圆右顶点求证L过一定点求出定点的坐标
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答案和解析
设A(x1,y1),B(x2,y2)
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,所以PA垂直于PB.而右顶点P(2,0),(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,y1=kx1+m,y2=kx2+m,所以(1+k^2)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+4+m^2=0 *
y=kx+m代入3x^2+4y^2=12,得(3+4k^2)x^2+8mkx+4m^2-12=0,x1+x2=-8km/(3+4k^2),x1x2=(4m^2-12)/(3+4k^2)代入*,整理得7m^2+16mk+4m^2=0,得m=-2k,或m=-(2/7)k,又直线L:Y=KX+M与椭圆相交于A,B不是顶点m=2k舍去,所以m=-(2/7)k,代入直线L:Y=KX+M,得y=k(x-2/7),L过定点（2/7,0)
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,所以PA垂直于PB.而右顶点P(2,0),(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,y1=kx1+m,y2=kx2+m,所以(1+k^2)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+4+m^2=0 *
y=kx+m代入3x^2+4y^2=12,得(3+4k^2)x^2+8mkx+4m^2-12=0,x1+x2=-8km/(3+4k^2),x1x2=(4m^2-12)/(3+4k^2)代入*,整理得7m^2+16mk+4m^2=0,得m=-2k,或m=-(2/7)k,又直线L:Y=KX+M与椭圆相交于A,B不是顶点m=2k舍去,所以m=-(2/7)k,代入直线L:Y=KX+M,得y=k(x-2/7),L过定点（2/7,0)
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