从集合{Z=1+i^2+i^3+...+i^n}中任取两个元素相加,则所得的复数模为根号2的有几个n属于自然数

Question

从集合{Z=1+i^2+i^3+...+i^n}中任取两个元素相加,则所得的复数模为根号2的有几个
n属于自然数

Answer 1

集合中的元素实际上只有有限个.因为有1 + i + i^2 + i^3 = 0.
故当n = 4k (k ∈N)时,
1 + i^2 + i^3 + ··· + i^n
= 1 + i^2 + i^3 + i^4 + (i^5 + i^6 + i^7 + i^8) + ··· + (i^(4k - 3) + i^(4k - 2) + i^(4k - 1) + i^4k)
= 1 + i^2 + i^3 + i^4
= 1 - i.
同理n = 4k + 1时,1 + i^2 + i^3 + ··· + i^n = 1.
n = 4k + 2时,1 + i^2 + i^3 + ··· + i^n = 0.
n = 4k + 3时,1 + i^2 + i^3 + ··· + i^n = -i.
故原集合 = {1 - i,1,0,-i}.
仅有{1 - i,0}和{1,-i}满足和的模为√2,共两对.