一个任意四边形知道四边的长度就可以知道面积记得是古希腊数学家海伦-凯乐给出了一个求任意四边形的面积公式.只要知道四边形的四边就可以求出这个四边形的面积.请问这个公式的推理

Question

一个任意四边形知道四边的长度就可以知道面积
记得是古希腊数学家海伦-凯乐给出了一个求任意四边形的面积公式.
只要知道四边形的四边就可以求出这个四边形的面积.
请问这个公式的推理过程给我一下.

Answer 1

假设四边形为ABCD,对角线AC=m,BD=n,对角线夹角为α,由sin（180°-α）=sinα,我们知道sin∠AOB=sin∠BOC=sin∠COD=sin∠AOD=sinα,
因为四边形ABCD的面积=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD,
而S△AOB=0.5*OA*OB*sin∠AOB；
S△BOC=0.5*OB*OC*sin∠BOC；
S△COD=0.5*OC*OD*sin∠COD；
S△AOD=0.5*OA*OD*sin∠AOD；
左右两边相加,得：
S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=0.5*OA*OB*sin∠AOB+0.5*OB*OC*sin ∠BOC+0.5*OC*OD*sin∠COD+0.5*OA*OD*sin∠AOD
=0.5sinα（OA*OB+OB*OC+OC*OD+OA*OD）
=0.5sinα[OB*（OA+OC）+OD*（OA+OC）]
=0.5sinα（OA+OC）*（OB+OD）
=0.5sinα*m*n
=1/2*m*n*sinα
即四边形的面积为1/2*m*n*sinα