一道关于improperintegrals问题f(x)=1/[e^(3x)-1],求integratef(x)dxfrom1topositiveinfinite.1-ln(e^3-1)/3,请检验.

Question

一道关于improper integrals问题
f(x)=1/[e^(3x)-1],
求 integrate f(x)dx from 1 to positive infinite.
1-ln(e^3-1)/3,请检验.

Answer 1

[1,+∞]∫dx/[e^(3x)-1]=[1,+∞]∫[e^(3x)-(e^3x-1)]dx/(e^3x-1)
=[1,+∞]{∫e^(3x)dx/[e^(3x)-1]-∫dx}=[1,+∞]{(1/3)∫dln[e^(3x)-1]-∫dx}
={(1/3)ln[e^(3x)-1]-x}︱[1,+∞]=0-[(1/3)ln(e³-1)-1]=1-(1/3)ln(e³-1)
其中取上限时极限为0是这么来的：
x→+∞ lim{(1/3)ln[e^(3x)-1]-x}=x→+∞ lim{ln[e^(3x)-1]^(1/3)-ln(e^x)}
=x→+∞ lim ln{[e^(3x)-1]^(1/3)}/e^x=x→+∞ lim ln[(e^3x-1)/e^3x]^(1/3)
=x→+∞ lim ln[1-(1/e^3x)]^(1/3)=ln1=0