如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP

Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点．

（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．
①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．
（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．
小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．
请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．
并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点．

（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．
①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．
（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．
小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．
请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．
并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

（1）①补全图形如图所示；

②如图，连接BD、CD

∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，
∴BC∥AD且BC=AD，
∵∠ACB=90°，
∴四边形BCAD是矩形，
∴CD=AB=6，
∵BP=3，
∴DE=BP=3，
∵BP⊥CE，BP∥DE，
∴DE⊥CE，
∴在Rt△DCE中，CE=√(CD2-DE2)=√(36-9)=√(27)=3√(3)；

（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．

由旋转可得，△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、△ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，
当AC=BC=4时，AB=4√(2)，
当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=(1)/(2)AB=2√(2)=CQ，NQ=√(3)AQ=2√(6)，
∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=2√(2)+2√(6)． √(CD2-DE2)

CD2-DE2

CD2-DE2

CD2-DE2CD2-DE22-DE22=√(36-9)=√(27)=3√(3)；

（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．

由旋转可得，△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、△ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，
当AC=BC=4时，AB=4√(2)，
当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=(1)/(2)AB=2√(2)=CQ，NQ=√(3)AQ=2√(6)，
∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=2√(2)+2√(6)． √(36-9)

36-9

36-9

36-936-9=√(27)=3√(3)；

（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．

由旋转可得，△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、△ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，
当AC=BC=4时，AB=4√(2)，
当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=(1)/(2)AB=2√(2)=CQ，NQ=√(3)AQ=2√(6)，
∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=2√(2)+2√(6)． √(27)

27

27

2727=3√(3)；

（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．

由旋转可得，△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、△ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，
当AC=BC=4时，AB=4√(2)，
当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=(1)/(2)AB=2√(2)=CQ，NQ=√(3)AQ=2√(6)，
∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=2√(2)+2√(6)． 3√(3)

3

3

33；

（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．

由旋转可得，△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、△ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，
当AC=BC=4时，AB=4√(2)，
当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=(1)/(2)AB=2√(2)=CQ，NQ=√(3)AQ=2√(6)，
∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=2√(2)+2√(6)． √(2)

2

2

22，
当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=(1)/(2)AB=2√(2)=CQ，NQ=√(3)AQ=2√(6)，
∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=2√(2)+2√(6)． (1)/(2)12111222AB=2√(2)=CQ，NQ=√(3)AQ=2√(6)，
∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=2√(2)+2√(6)． √(2)

2

2

22=CQ，NQ=√(3)AQ=2√(6)，
∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=2√(2)+2√(6)． √(3)

3

3

33AQ=2√(6)，
∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=2√(2)+2√(6)． √(6)

6

6

66，
∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=2√(2)+2√(6)． 2√(2)

2

2

22+2√(6)

6

6

66．