已知a>0,b>0且a+b=1,则(1/（a的平方）-1)(1/（b的平方）-1)的最大值为.

Question

已知a>0,b>0且a+b=1,则(1/（a的平方）-1)(1/（b的平方）-1)的最大值为.

Answer 1

(1/a²-1)(1/b²-1)
=(1-a²)(1-b²)/[a²b²]
=(1-a)(1-b)(1+a)(1+b)/[a²b²]
=(1-a-b+ab)(1+a+b+ab)/[a²b²]
=ab(2+ab)/[a²b²]
=(2+ab)/[ab]
=1 +2/ab
而 √(ab)≤(a+b)/2=1/4
所以原式 =1 +2/ab≥1+2/(1/4)=9
√(ab)≤(a+b)/2 使用的是不等式 2cd≤c²+d² 取c=√a,d=√b 即可
也可使用a=cos²t,b=sin²t 则 ab=sin²(2t)/4≤1/4