四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90゜，∠DCB=75゜，以CD为边的等边△CDE的顶点E在AB上．（1）求证：AB=BC；（2）点F为CD上一点，若∠FBC=30゜．求DFCF的值．

Question

四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90゜，∠DCB=75゜，以CD为边的等边△CDE的顶点E在AB上．

（1）求证：AB=BC；
（2）点F为CD上一点，若∠FBC=30゜．求(DF)/(CF)的值．

Answer 1

证：（1）过D点作DG⊥BC于G．
∴∠DGC=∠DGB=90°．
∵△CDE为等边三角形，
∴DC=DE，∠DCE=60°．
∵∠DCB=75゜，
∴∠BCE=15°．
∵AD∥BC，∠A=90゜，
∴∠ABC=∠DGC=90°，
∴∠BEC+∠BCE=90°，四边形ABGD是矩形，
∴∠BEC=75°，AB=DG．
∴∠DCB=∠BEC．
在△DGC和△CBE中

∠DGC=∠CBE

∠DCG=∠CEB

DC=CE

，
∴△DGC≌△CBE，
∴DG=BC，
∴AB=BC；
（2）延长BF交AD的延长线于M，
∵∠FBC=30゜，∠DCB=75゜，
∴∠BFC=75°，
∴∠DCB=∠DFC，
∴BF=BC．
∵AD∥BC，
∴∠M=∠FBC=30°．∠MDF=∠BCF．
∵∠A=90゜，
∴BM=2AB．
∴BF=FM=(1)/(2)BM．
在△CFB和△DFM中，

∠CFB=∠DFM

BF=MF

∠CBF=∠M

，
∴△CFB≌△DFM，
∴DF=CF，
∴(DF)/(CF)=1．