已知三角形ABC的三个顶点分别是A（1,2）,B（4,1）,C（3,4）,P是边AB上一点,PQ//BC交AC于Q,且S三角形APQ：S四边形PQCB=4：5.求点P的坐标并有明确的解释(请用向量的知识解答)

Question

已知三角形ABC的三个顶点分别是A（1,2）,B（4,1）,C（3,4）,P是边AB上一点,PQ//BC交AC于Q,且S三角形APQ：S四边形PQCB=4：5.求点P的坐标
并有明确的解释(请用向量的知识解答)

Answer 1

设P点坐标为﹙m,n﹚ ,由B、C两点,可求BC直线方程为：y=－3x＋13,由A、B两点可求AB直线方程为：y=－1／3 x＋7／3,∴设：PQ直线方程为：y=－3x＋b,AB与PQ两直线方程的交点可求：①m=﹙3b－7﹚／8,②n=﹙－b＋21﹚／8,又：△AOQ的面积∶四边形PQCB 的面积=4∶5,∴△APQ的面积 ∶△ABC的面积=4∶9,∴即AP²∶AB²=4∶9,∴[﹙m－1﹚²＋﹙n－2﹚ ²]∶[﹙4－1﹚²＋﹙1－2﹚ ² ]=4∶9,将 ①②代人可求得：b1=31／3 ,b2=－1／3,但b2=－1／3 不合题意,∴b=31／3,∴m=3,n=4／3 ∴P点坐标为P﹙3,4／3﹚ .完