如何证明ln(n/(n-1))>1/n

Question

如何证明ln(n/(n-1))>1/n

Answer 1

构造函数f(n)=ln(n/(n-1))-1/n
求导
f'(n)=[(n-1)/n][(n-1-n)/(n-1)^2]+1/n^2
=1/n^2-1/(n^2-n)
显然n^2＞(n^2-n)
∴1/n^2＜1/(n^2-n)
∴f'(n)＜0
∴f(n)在（0,+∞）是减函数
n→+∞limf(n)=0
∴f(n)＞0
∴ln(n/(n-1))＞1/n