关于高数微分的问题重力加速度随高度h变化的计算公式为：g=g0（1+h/R）^(-2),其中g0为海平面处的重力加速度,R为地球半径,给出计算g的近似公式

Question

关于高数微分的问题
重力加速度随高度h变化的计算公式为：g=g0（1+h/R）^(-2),其中g0为海平面处的重力加速度,R为地球半径,给出计算g的近似公式

Answer 1

用微分证明近似公式 （1+x）^K≈1+K x
所以 g≈g0（1-2h/R）
补充证明如下:设 f(x)=（1+x）^K,f'(x)=K(1+x)^(K-1)
令x0=0,Δy= f(x)-f(0)=（1+x）^K - 1
dy = f'(x0)Δx = k x
由Δy ≈ dy 得（1+x）^K - 1 ≈ k x,从而 （1+x）^K≈1+K x（|x|较小）