椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0);右焦点为F,直线l方程为x=a2/c,求证椭圆上任意点P到F的距离与到l的距离之比为c/a

Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0); 右焦点为F,直线l方程为x=a2/c,求证椭圆上任意点P到F的距离与到l的距离之比为c/a

Answer 1

在椭圆上任取一点P（x,y）,则P到焦点的距离为
|PF|=根号下(x-c)^2+y^2=(x-c)^2+(1-x^2/a^2)b^2
=根号下[a^2(x^2-2cx+c^2)+(a^2b^2 -b^2x^2]/a^2
= 根号下(a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2b^2 -b^2x^2)/a^2
= 根号下[(a^2x^2-b^2x^2)-2a^2cx+(a^2c^2+a^2b^2 )]/a^2
= 根号下( c^2x^2-2a^2cx +a^4 )/a^2
=根号下(a^2- cx )^2/a^2
= (a^2- cx )/a
又点P（x,y）到直线 x=a^2/c的距离d=a^2/c -x=(a^2- cx )/c
所以|PF|/d=[(a^2- cx )/a]/[(a^2- cx )/c]=c/a