对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）-f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x

Question

对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）-f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．
（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2^x是否为位差奇函数？说明理由；
（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为(π)/(4)的位差奇函数，求φ的值；
（3）若f（x）=x³+bx²+cx对任意属于区间[-(1)/(2)，+∞)中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）-f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．
（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2^x是否为位差奇函数？说明理由；
（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为(π)/(4)的位差奇函数，求φ的值；
（3）若f（x）=x³+bx²+cx对任意属于区间[-(1)/(2)，+∞)中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．
^x
(π)/(4)的位差奇函数，求φ的值；
（3）若f（x）=x³+bx²+cx对任意属于区间[-(1)/(2)，+∞)中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．(π)/(4)π4ππ44
³²[-(1)/(2)，+∞)中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．(1)/(2)121122

Answer 1

（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）-f（m）=2（x+m）+1-（2m+1）=2x，
∴对任意实数m，f（x+m）-f（m）是奇函数，
即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；
对于g（x）=2^xx，记h（x）=g（x+m）-g（m）=2^x+mx+m-2^mm=2^mm（2^xx-1），
由h（x）+h（-x）=2^mm（2^xx-1）+2^mm（2^-x-x-1）=0，当且仅当x=0等式成立，
∴对任意实数m，g（x+m）-g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；
（2）依题意，f(x+(π)/(4))-f((π)/(4))=sin(x+(π)/(4)+φ)-sin((π)/(4)+φ)是奇函数，
∴(π)/(4)+φ=kπ⇒φ=kπ-(π)/(4)（k∈Z）．
（3）记h（x）=f（x+m）-f（m）=（x+m）³+b（x+m）²+c（x+m）-m³-bm²-cm
=x³+（3m+b）x²+（3m²+2bm+c）x．
依题意，h（x）对任意m∈[-(1)/(2)，+∞)都不是奇函数，
若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时b=-3m≤(3)/(2)．
故要使h（x）不是奇函数，必须且只需b>(3)/(2)，且c∈R． f(x+(π)/(4)π4πππ444)-f((π)/(4)π4πππ444)=sin(x+(π)/(4)π4πππ444+φ)-sin((π)/(4)π4πππ444+φ)是奇函数，
∴(π)/(4)+φ=kπ⇒φ=kπ-(π)/(4)（k∈Z）．
（3）记h（x）=f（x+m）-f（m）=（x+m）³+b（x+m）²+c（x+m）-m³-bm²-cm
=x³+（3m+b）x²+（3m²+2bm+c）x．
依题意，h（x）对任意m∈[-(1)/(2)，+∞)都不是奇函数，
若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时b=-3m≤(3)/(2)．
故要使h（x）不是奇函数，必须且只需b>(3)/(2)，且c∈R． (π)/(4)π4πππ444+φ=kπ⇒φ=kπ-(π)/(4)π4πππ444（k∈Z）．
（3）记h（x）=f（x+m）-f（m）=（x+m）³3+b（x+m）²2+c（x+m）-m³3-bm²2-cm
=x³3+（3m+b）x²2+（3m²2+2bm+c）x．
依题意，h（x）对任意m∈[-(1)/(2)，+∞)都不是奇函数，
若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时b=-3m≤(3)/(2)．
故要使h（x）不是奇函数，必须且只需b>(3)/(2)，且c∈R． m∈[-(1)/(2)12111222，+∞)都不是奇函数，
若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时b=-3m≤(3)/(2)．
故要使h（x）不是奇函数，必须且只需b>(3)/(2)，且c∈R． b=-3m≤(3)/(2)32333222．
故要使h（x）不是奇函数，必须且只需b>(3)/(2)，且c∈R． b>(3)/(2)32333222，且c∈R．