把一个可逆矩阵表示成初等阵的乘积结果唯一吗?我试过把一个可逆矩阵写成初等阵的形式,可是发现按不同的方法去进行初等行变换的话会得到不同的结果啊,可是这些不同的结果又有很多相

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把一个可逆矩阵表示成初等阵的乘积结果唯一吗?
我试过把一个可逆矩阵写成初等阵的形式,可是发现按不同的方法去进行初等行变换的话会得到不同的结果啊,可是这些不同的结果又有很多相似之处啊.

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答案和解析

结果不唯一.
事实上, 当A可逆时, A可经初等行变换化为单位矩阵
即存在初等矩阵 P1,...,Ps 使得 P1P2...Ps A = E
此时 A = (P1P2...Ps )^-1 = Ps^-1 ... P2^-1P1^-1.
注意到把A化为单位矩阵E时, 初等行变换的方法并不是唯一的
所以A表示为初等矩阵的乘积也不是唯一的.

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