如图，在⊙O中，弦AE⊥弦BC于D，BC=6，AD=7，∠BAC=45°．（1）求⊙O的半径；（2）求DE的长．

Question

如图，在⊙O中，弦AE⊥弦 BC于D，BC=6，AD=7，∠BAC=45°．

（1）求⊙O的半径；
（2）求DE的长．

Answer 1

连接OB、OC，
∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，有
OB²+OC²=BC²，
且OC=OB，
∴2OC²=BC²，
∵BC=6
∴OC=3√(2)．
即O的半径为3√(2)．
（2）过点O作OM⊥AE于M，ON⊥BC于N，
可得AM=ME，ON=(1)/(2)BC=3，
∵AE⊥BC，OM⊥AE，ON⊥BC，
∴∠ADC=∠DNO=∠OMD=90°，
∴四边形OMDN是矩形，
∴MD=ON=3，
∴AM=AD-MD=7-3=4=ME，
∴DE=ME-MD=4-3=1．