在锐角三角形ABC中,abc分别为内角ABC的对边,且2（a-b）（sinA+sinB）＝sinC（2c-b）-csinB,求sinB+sinC的取值范围

Question

在锐角三角形ABC中,abc分别为内角ABC的对边,且2（a-b）（sinA+sinB）＝sinC（2c-b）-csinB,求sinB+sinC的取值范围

Answer 1

解由2（a-b）（sinA+sinB）＝sinC（2c-b）-csinB
由正弦定理知
2（a-b）(a+b)=c(2c-b)-cb
即2a²-2b²=2c²-2bc
即bc=c²+b²-a²
即cosA=(b²+c²-a²）/2bc=bc/2bc=1/2
即A=60°
即B+C=180°-60°=120°
所以sinB+sinC
=sinB+sin（120°-B)
=sinB+sin120°cosB-cos120°sinB
=sinB+√3/2cosB-(-1/2)sinB
=√3/2cosB+3/2sinB
=√3(1/2cosB+√3/2sinB)
=√3(sin30°cosB+cos30°sinB)
=√3sin（B+30°）
由B是锐角,
则0＜B＜π/2
即0＜B＜90°
即30°＜B+30°＜120°
即1/2＜sin（B+30°）≤1
即√3/2＜√3sin（B+30°）≤√3
即√3/2＜sinB+sinC≤√3
即sinB+sinC的取值范围
（√3/2,√3]