（2014•福建）如图，矩形的水平管，管道的长为L、宽为d、高为h．上下两面是绝缘板，前后两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S和定值电阻R相连．整个管道置于磁感应强度

Question

（2014•福建）如图，矩形的水平管，管道的长为L、宽为d、高为h．上下两面是绝缘板，前后两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S和定值电阻R相连．整个管道置于磁感应强度大小为B，方向沿x周正方向的匀强磁场中．管道内内始终充满电阻率为ρ的导电液体（有大量的正、负离子），且开关闭合前后．液体在管道内进、出口两端压强差的作用下．均以恒定速率v₀沿x轴正向流动，液体所受的摩擦阻力不变．
（1）求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小U₀；
（2）求开关闭合前后，管道两端压强差的变化△p；
（3）调整矩形管道的宽和高，但保持其他量和矩形管道的横截面积S=dh不变，求电阻R可获得的最大功率P_n及相应的宽高比(d)/(h)的值．<sub>0
0

n</sub>(d)/(h)的值．(d)/(h)ddhh

Answer 1

（1）设带电离子所带电量为q，当其所受的洛伦兹力与电场力相平衡时，U₀0保持恒定，
则有：qv₀0B=q(Uo)/(d)；
解得：U₀=Bdv₀；
（2）设开关闭合前后，管道两端压强差分别为P₁、P₂，液体所受的摩擦阻力均为f，开关闭合后管道内液体受到安培力为F_安，
有：P₁hd=f
P₂hd=f+F_安
F_安=BId；
根据欧姆定律，则有：I=(U0)/(R+r)；
两导体板间液体的电阻为：r＝ρ(d)/(Lh)；
由以上几式，解得：管道两端压强差的变化为：△P=(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）电阻R获得的功率为：P=I²R=((Lv0B)/((LR)/(d)+(ρ)/(h)))2R；
当(d)/(h)＝(LR)/(ρ)时，电阻R获得的最大功率为：P_m=(LSv20B2)/(4ρ)；
答：（1）求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小Bdv₀；
（2）开关闭合前后，管道两端压强差的变化(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）电阻R可获得的最大功率(LSv20B2)/(4ρ)及相应的宽高比(d)/(h)＝(LR)/(ρ)的值． (Uo)/(d)UoUoUoddd；
解得：U₀0=Bdv₀0；
（2）设开关闭合前后，管道两端压强差分别为P₁1、P₂2，液体所受的摩擦阻力均为f，开关闭合后管道内液体受到安培力为F_安安，
有：P₁1hd=f
P₂2hd=f+F_安安
F_安安=BId；
根据欧姆定律，则有：I=(U0)/(R+r)；
两导体板间液体的电阻为：r＝ρ(d)/(Lh)；
由以上几式，解得：管道两端压强差的变化为：△P=(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）电阻R获得的功率为：P=I²R=((Lv0B)/((LR)/(d)+(ρ)/(h)))2R；
当(d)/(h)＝(LR)/(ρ)时，电阻R获得的最大功率为：P_m=(LSv20B2)/(4ρ)；
答：（1）求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小Bdv₀；
（2）开关闭合前后，管道两端压强差的变化(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）电阻R可获得的最大功率(LSv20B2)/(4ρ)及相应的宽高比(d)/(h)＝(LR)/(ρ)的值． (U0)/(R+r)U0U0U00R+rR+rR+r；
两导体板间液体的电阻为：r＝ρ(d)/(Lh)；
由以上几式，解得：管道两端压强差的变化为：△P=(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）电阻R获得的功率为：P=I²R=((Lv0B)/((LR)/(d)+(ρ)/(h)))2R；
当(d)/(h)＝(LR)/(ρ)时，电阻R获得的最大功率为：P_m=(LSv20B2)/(4ρ)；
答：（1）求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小Bdv₀；
（2）开关闭合前后，管道两端压强差的变化(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）电阻R可获得的最大功率(LSv20B2)/(4ρ)及相应的宽高比(d)/(h)＝(LR)/(ρ)的值． r＝ρ(d)/(Lh)dddLhLhLh；
由以上几式，解得：管道两端压强差的变化为：△P=(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）电阻R获得的功率为：P=I²R=((Lv0B)/((LR)/(d)+(ρ)/(h)))2R；
当(d)/(h)＝(LR)/(ρ)时，电阻R获得的最大功率为：P_m=(LSv20B2)/(4ρ)；
答：（1）求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小Bdv₀；
（2）开关闭合前后，管道两端压强差的变化(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）电阻R可获得的最大功率(LSv20B2)/(4ρ)及相应的宽高比(d)/(h)＝(LR)/(ρ)的值． (Ldv0B2)/(LhR+dρ)Ldv0B2Ldv0B2Ldv0B20B22LhR+dρLhR+dρLhR+dρ；
（3）电阻R获得的功率为：P=I²2R=((Lv0B)/((LR)/(d)+(ρ)/(h)))2R；
当(d)/(h)＝(LR)/(ρ)时，电阻R获得的最大功率为：P_m=(LSv20B2)/(4ρ)；
答：（1）求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小Bdv₀；
（2）开关闭合前后，管道两端压强差的变化(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）电阻R可获得的最大功率(LSv20B2)/(4ρ)及相应的宽高比(d)/(h)＝(LR)/(ρ)的值． ((Lv0B)/((LR)/(d)+(ρ)/(h))Lv0BLv0BLv0B0B(LR)/(d)+(ρ)/(h)(LR)/(d)+(ρ)/(h)(LR)/(d)LRLRLRddd+(ρ)/(h)ρρρhhh)2R；
当(d)/(h)＝(LR)/(ρ)时，电阻R获得的最大功率为：P_m=(LSv20B2)/(4ρ)；
答：（1）求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小Bdv₀；
（2）开关闭合前后，管道两端压强差的变化(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）电阻R可获得的最大功率(LSv20B2)/(4ρ)及相应的宽高比(d)/(h)＝(LR)/(ρ)的值． 2R；
当(d)/(h)＝(LR)/(ρ)时，电阻R获得的最大功率为：P_m=(LSv20B2)/(4ρ)；
答：（1）求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小Bdv₀；
（2）开关闭合前后，管道两端压强差的变化(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）电阻R可获得的最大功率(LSv20B2)/(4ρ)及相应的宽高比(d)/(h)＝(LR)/(ρ)的值． (d)/(h)dddhhh＝(LR)/(ρ)LRLRLRρρρ时，电阻R获得的最大功率为：P_mm=(LSv20B2)/(4ρ)；
答：（1）求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小Bdv₀；
（2）开关闭合前后，管道两端压强差的变化(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）电阻R可获得的最大功率(LSv20B2)/(4ρ)及相应的宽高比(d)/(h)＝(LR)/(ρ)的值． (LSv20B2)/(4ρ)LS

v

2 0

B2LS

v

2 0

B2LS

v

2 0

v

2

0

vv

2

0

2

2

0

0B224ρ4ρ4ρ；
答：（1）求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小Bdv₀0；
（2）开关闭合前后，管道两端压强差的变化(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）电阻R可获得的最大功率(LSv20B2)/(4ρ)及相应的宽高比(d)/(h)＝(LR)/(ρ)的值． (Ldv0B2)/(LhR+dρ)Ldv0B2Ldv0B2Ldv0B20B22LhR+dρLhR+dρLhR+dρ；
（3）电阻R可获得的最大功率(LSv20B2)/(4ρ)及相应的宽高比(d)/(h)＝(LR)/(ρ)的值． (LSv20B2)/(4ρ)LS

v

2 0

B2LS

v

2 0

B2LS

v

2 0

v

2

0

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2

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2

2

0

0B224ρ4ρ4ρ及相应的宽高比(d)/(h)＝(LR)/(ρ)的值． (d)/(h)dddhhh＝(LR)/(ρ)LRLRLRρρρ的值．