已知数列〔an〕的首项为a1＝2/3,an＋1＝2an/an＋1,n＝1,2,3,（1）证明：数列〔1/an－1〕是等比数列〔2〕求数列〔n/an〕的前n项和Sn（注）那些n是在底部,说明下，第一个n＋1在底部!第二个是（

Question

已知数列〔a n〕的首项为a1＝2/3,a n＋1＝2a n/a n＋1,n＝1,2,3,
（1）证明：数列〔1/a n－1〕是等比数列
〔2〕求数列〔n/a n〕的前n项和S n
（注）那些n是在底部,
说明下，第一个n＋1在底部!第二个是（an ） ＋1!证明1是（1/an） －1

Answer 1

两边同时取倒数,1/a(n+1)=1/2an+1/2两边同时减1,1/a(n+1)-1=(1/an-1)/2所以{1/an-1}是以1/2为公比的等比数列,其中首项为1/2所以1/an-1=1/2^n,所以an=2^n/(2^n+1) 所以n/an=n(2^n+1)/2^n=n+n/2^n采用分组求和n的前n项和为n(n+1)/2n/2^n的前n项和用错位相减法得(n-2)/2^n+2两式相加即得Sn=(n-2)/2^n+n(n+1)/2+2.