一道求解数列极限的难题设a>0,X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn),(n=1,2,3.)1.证数列{Xn}单调减少且有下界.2.limXn(n→∞)其中n+1和n是数列的下标

Question

一道求解数列极限的难题
设a>0,X1>0,Xn+1= 1/2(Xn+a/Xn),(n=1,2,3.) 1.证数列{Xn}单调减少且 有下界.2.lim Xn (n→∞) 其中n+1 和 n 是数列的下标

Answer 1

(1)由,Xn+1= 1/2(Xn+a/Xn),和X1>0知Xn>0,Xn+1= 1/2(Xn+a/Xn)≥√a,Xn=√a时取等号,
（事实上,若X1=√a,则整列数Xn都是√a）以下讨论排除X1=√a的情形：
(Xn+1)/(Xn)＝1/2(1＋a/X²n)＜1,即：Xn+1＜Xn,故数列{Xn}单调减少且 有下界
（2）设lim Xn (n→∞) ＝m,在Xn+1= 1/2(Xn+a/Xn)两边同时取极限,得：
m=1/2(m+a/m),解得;m＝﹙1＋√(1+4a)﹚/2