对任意正整数n, 定义n!=1*2*3*4*……*n,求91!除以19^5所得的最小正余数要过程为什么算出余数后还要乘19^4呢

Question

对任意正整数n, 定义n!=1*2*3*4*……*n,求91!除以19^5所得的最小正余数
要过程
为什么算出余数后还要乘19^4呢

Answer 1

91!里面包含19,38,51,76
所以91!能被19^4整除,假设91!=19^4*a,那么我们只需要求出a除以19的余数就可以,然后将余数乘以19^4就得到91!除以19^5所得的最小正余数.
将91!（除去19的倍数）分组(1,2,3,……18),（20,21,22……37）,（39,40,41……50）,（52,53,54……75）,（77,78,79……91）
由威尔逊定理可以知道,前面4组每一组的乘积除以19的余数都是-1,所以只需求最后一组除以19的余数就可以,而他等于15!除以19的余数,计算可以知道15!除以19的余数是16,所以91!除以19^5所得的最小正余数是16*19^4＝2085136