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设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2 (1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列 (2)求数列{an}的通态度要好,
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设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2 (1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列 (2)求数列{an}的通
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答案和解析
n≥2时,Sn=4a(n-1)+2,与S(n+1)=4an+2相减,得:a(n+1)=4an-4a(n-1),即:a(n+1)-2an=2[an-a(n-1)],则:bn=2b(n-1),其中n≥2.a1+a2=S2=4a1+2,则a2=3a1+2=5,b1=a2-2a1=3.则{bn}是以3为首项、以q=2为公比的等比数列,得:bn=3×2^(n-1).即:a(n+1)-2an=3×2^(n-1),两边除以2(n-1),得:[a(n+1)]/[2^(n-1)]-[an]/[2^(n-2)]=3=常数,则数列{an/[2^(n-2)]}是以a1/[2^(1-2)]=2为首项、以d=3为公差的等差数列,则an/[2^(n-2)]=2+3(n-1)=3n-1,所以,an=(3n-1)×2^(n-2).
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