一阶导数方程求表达式y'=(x+3y)/(3x+y)求y的一般表达式.给想法也行,有过程更好

Question

一阶导数方程求表达式
y'=(x+3y)/(3x+y)
求y的一般表达式.
给想法也行,有过程更好

Answer 1

y'=(x+3y)/(3x+y)
令u=y/x,y=ux y'=u+xu'
u+xu'=(1+3u)/(3+u)
xu'=(1+3u)/(3+u)-u=(1-u^2)/(3+u)
(3+u)du/(1-u^2)=dx/x
(2/(1-u)+1/(1+u))du=dx/x
积分得：ln(1+u)-ln(1-u)^2=lnx+lnC
解为：1+u=Cx(1-u)^2
或：x+y=C(y-x)^2