高中数学难题,设数列an满足an=n^2/[(3^n+n)-n],证明an≤4/9(提示用多种方法解例如导数法,数学归纳法,数列法等等,越多越好)

Question

高中数学难题,设数列an满足an=n^2/[(3^n+n)-n],证明an≤4/9(提示用多种方法解例如导数法,数学归纳法,数列法等等,越多越好)

Answer 1

首先你题目直接写成n^2/3^n就可以了
法1 求极限 lim n^2/3^n 洛必达法则 当n→+∞,可得极限为0 而显然f（x ）=2x/3^x递减.所以最大值为n=1时的 三分之一
法二 归纳法 n=1 就不说了,设n=k时成立,n=k+1时
可得ak+1-ak=（k+1）^2/3^k+1-k^2/3^k=(k^2+2k+1-3k^6)/3^k+1
分子可以化简为-2（k-1/2）^2+3/2
因为k>=2 K=2带入可得 小于0 .所以 n=k+1时 小于n=k时 归纳法可得 an成立.
就这样 不满意我也就算了 累 打着都累