已知抛物线y=x2+kx-34k2（k为常数，且k＞0）．（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且1ON−1OM＝23，求k的值．

Question

已知抛物线y=x²+kx-(3)/(4)k²（k为常数，且k＞0）．
（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且(1)/(ON)−(1)/(OM)＝(2)/(3)，求k的值．

Answer 1

（1）△=k²-4×1×（-(3)/(4)k²）=4k²
∵k＞0，
∴△=4k²＞0．
∴此抛物线与x轴总有两个交点．
（2）方程x²+kx-(3)/(4)k²=0的解是：
x=(1)/(2)k或x=-(3)/(2)k．
∵(1)/(ON)−(1)/(OM)＝(2)/(3)＞0，
∴OM＞ON．
∵k＞0，
∴M（-(3)/(2)k，0），N（(1)/(2)k，0），
∴OM=(3)/(2)k，ON=(1)/(2)k．
∴(1)/(ON)−(1)/(OM)＝(1)/((1)/(2)k)−(1)/((3)/(2)k)＝(2)/(3)，
解得k=2．