设集合A={a+根号2b| |a^2-2b^2|=1,a,b属于Z},已知x,y属于A,求证:(1)xy属于A;(2)1/x属于A

Question

设集合A={a+根号2b| |a^2-2b^2|=1,a,b属于Z},已知x,y属于A,求证:(1)xy属于A;(2)1/x属于A

Answer 1

x∈A,则有x=a+b√2,且|a^2-2b^2|=1
y∈A,则有y=c+d√2,且|c^2-2d^2|=1
1)
z=xy=(ac+2bd)+(ad+bc)√2=m+n√2,
|m^2-2n^2|=|(ac+2bd)^2-2(ad+bc)^2|
=|(ac)^2+4(bd)^2-2(ad)^2-2(bc)^2|
=|a^2(c^2-2d^2)-2b^2(c^2-2d^2)|
=|(a^2-2b^2)(c^2-2d^2)|
=1
所以xy∈A
2) z=1/x=1/(a+b√2)=(a-b√2)/(a^2-2b^2)=±(a-b√2)=m+n√2
m=±a, n=-(±b)
|m^2-2n^2|=|a^2-2b^2|=1
所以1/x∈A