已知数列{an}的前n项和Sn=3的n次幂-1（1）求证数列{an}是等比数列（2）若数列{bn}的前n项和为Tn,且满足4Tn=（bn+1）的完全平方,求kn=a1b1+a2b2+.+anbn

Question

已知数列{an}的前n项和Sn=3的n次幂-1 （1）求证数列{an}是等比数列（2）若数列{bn}的前n项和为Tn,
且满足4Tn=（bn+1）的完全平方,求kn=a1b1+a2b2+.+anbn

Answer 1

1.
n=1时,a1=S1=3-1=2
n≥2时,an=Sn-S(n-1)=3ⁿ-1-3^(n-1)+1=2×3^(n-1)
n=1时,a1=2×1=2,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2×3^(n-1)
a(n+1)/an=2×3ⁿ/[2×3^(n-1)]=3,为定值.
数列{an}是以2为首项,3为公比的等比数列.
2.
an=2×3^(n-1)
n=1时,4T1=4b1=(b1+1)²
(b1-1)²=0 b1=1
n≥2时,4bn=4Tn-4T(n-1)=(bn+1)²-[b(n-1)+1]²
整理,得
bn²-b(n-1)²-2bn-2b(n-1)=0
[bn+b(n-1)][bn-b(n-1)]-2[bn+b(n-1)]=0
[bn+b(n-1)][bn-b(n-1)-2]=0 估计你抄漏题了,bn是不是正项数列啊.
bn=-b(n-1)或bn-b(n-1)=2 只有按你的题目分类讨论了：
(1)
bn=-b(n-1)时,bn=(-1)^(n-1)
anbn=2×3^(n-1)×(-1)^(n-1)=2×(-3)^(n-1)
a(n+1)b(n+1)/(anbn)=-3,为定值.
a1b1=2,数列{an/bn}是以2为首项,-3为公比的等比数列.
Kn=2×[(-3)ⁿ-1]/(-3-1)=(-1/2)×3ⁿ +1/2
(2)
bn-b(n-1)=2时,数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.bn=1+2(n-1)=2n-1
Kn=1×2×1+3×2×3+5×2×3²+...+(2n-1)×2×3^(n-1)
3Kn=1×2×3+3×2×3²+...+(2n-3)×2×3^(n-1)+(2n-1)×2×3ⁿ
Kn-3Kn=-2Kn=2×[1+2×3+2×3²+...+2×3^(n-1)-(2n-1)×3ⁿ]
=2×[2×1+2×3+...+2×3^(n-1) -1 -(2n-1)×3ⁿ]
=2×[2×1×(3ⁿ-1)/(3-1) -(2n-1)×3ⁿ-1]
=2×[2(1-n)3ⁿ-2]
Kn=2(n-1)×3ⁿ+2