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已知双曲线C:x^2/4-y^2=1,P为C上的任意一点1.求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数2.设点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值
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已知双曲线C:x^2/4-y^2=1,P为C上的任意一点
1.求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
2.设点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值
1.求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
2.设点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值
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答案和解析
由双曲线方程可知:双曲线的两天渐近线方程为:y=2x;y=-2x.设:p点坐标为(x0,y0);则其到两条渐近线距离为:|y0-2x0|/根号5;|y0+2x0|/根号5.所以其乘积为|y0^2-4X0^2|/5=1/5
x=2sect y=tant|PA|^2=(x-3)^2+y^2=4sec^2t-12sect+9+tan^2t=4sec^2t-12sect+9+sec^2t-1=5sec^2t-12sect+8sect=6/5时取得最小值|PA|^2=5*36/25-12*6/5+8=4/5|PA|min=2√5/5
x=2sect y=tant|PA|^2=(x-3)^2+y^2=4sec^2t-12sect+9+tan^2t=4sec^2t-12sect+9+sec^2t-1=5sec^2t-12sect+8sect=6/5时取得最小值|PA|^2=5*36/25-12*6/5+8=4/5|PA|min=2√5/5
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