分式求和1.1+1/2+1/3+1/4+...+1/n1.1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...+1/（2n-1)-1/2n第二题当n趋于无穷时为0.7

Question

分式求和
1.1+1/2+1/3+1/4+...+1/n
1.1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...+1/（2n-1)-1/2n
第二题当n趋于无穷时为0.7

Answer 1

1.1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=γ+ln(n)
γ叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209
学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下：
由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在,调和级数发散.
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在.
于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等
2.1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...+1/（2n-1)-1/2n=ln2
利用上题的结果